Progressione delle competenze nei tre cicli scolastici

[tab title="Pagina%201"]Traguardi di competenza
I traguardi di competenza da raggiungere al temine di ogni ciclo possono essere definiti come sintesi, non esaustiva, di quanto proposto in modo più analitico nelle matrici dei traguardi di apprendimento proposti nel paragrafo successivo; essi evolvono in profondità e articolazione da un ciclo a un altro. Per ciascun traguardo sono previsti livelli di difficoltà crescenti in relazione alla complessità concettuale e strutturale della situazione-problema proposta (comprensibilità del testo, conoscenza e pratica delle diverse rappresentazioni, simboli e termini utilizzati, concetti presenti, ragionamenti e tempo necessari per risolverla ecc.), al livello di familiarità dei contesti d’azione (da contesti noti, semplici e concreti a contesti inediti, complessi e astratti), al grado di rielaborazione richiesto dal comportamento messo in atto (da risposte riproduttive a risposte personali e originali), alle condizioni operative in cui si svolge l’apprendimento (scopi dell’azione e autonomia con cui l’allievo agisce.

Traguardi di competenza al termine del 1°ciclo
Alla fine del 1°ciclo l’allievo:

• esplora, comprende, prova e risolve situazioni-problema contestualizzate legate al vissuto e alla realtà che coinvolgono i primi apprendimenti in ambito numerico, geometrico e relativi a grandezze riferite alla sua quotidianità;
• conosce e utilizza i numeri naturali almeno fino a 100 in contesti legati principalmente al quotidiano, sa effettuare ordinamenti, stime, conteggi di raccolte alla sua portata numerica;
• gestisce calcoli mentali e mentali-scritti che coinvolgono addizioni almeno fino al 100 e sottrazioni in casi più semplici;
• riconosce, denomina e descrive le più comuni figure del piano e dello spazio, oltre a semplici relazioni e strutture legate alla lettura della realtà che lo circonda;
• progetta e realizza rappresentazioni e modelli non formalizzati legati all’interpretazione matematica del mondo che lo circonda;
• sa situarsi nel tempo della vita quotidiana, nella ciclicità e ricorsività;
• gestisce confronti, classificazioni e ordinamenti di lunghezze legate alla sua realtà ed effettua nel concreto misure per confronto con una grandezza scelta come unità;
• presenta, descrive e motiva le proprie scelte prese per affrontare una semplice situazione matematica legata alla realtà in modo tale che risultino comprensibili ai compagni, come pure comprende le descrizioni e presentazioni degli altri.

Traguardi di competenza al termine del 2°ciclo
Alla fine del 2°ciclo l’allievo:

• comprende e risolve con fiducia e determinazione situazioni-problema in tutti gli ambiti di contenuto previsti per questo ciclo, legate al concreto o astratte ma partendo da situazioni reali, mantenendo il controllo critico sia sui processi risolutivi sia sui risultati, esplorando e provando diverse strade risolutive;
• conosce e utilizza i numeri naturali, i numeri decimali e le frazioni in contesti reali e ideali; sa ordinare i numeri naturali e decimali;
• gestisce con sicurezza il calcolo mentale e mentale-scritto che coinvolge le quattro operazioni con numeri naturali, sa affrontare calcoli con numeri decimali, eventualmente anche ricorrendo a una calcolatrice in situazioni che lo richiedono;
• riconosce, denomina, descrive e rappresenta figure (del piano e dello spazio), relazioni e strutture legate all’interpretazione della realtà o a una loro matematizzazione e modellizzazione;
• classifica le principali figure in base a caratteristiche geometriche e ne determina misure significative;
• gestisce confronti, classificazioni e ordinamenti delle più comuni grandezze ed effettua e calcola misure dirette e indirette legate alla realtà e a situazioni ideali ancorate al concreto;
• ricava e interpreta informazioni da tabelle e grafici; elabora, interpreta e rappresenta insiemi di dati forniti o ricercati;
• esprime valutazioni probabilistiche in alcune semplici situazioni di incertezza legate al vissuto;
• costruisce ragionamenti, fondandosi su ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri;
• legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici concernenti gli ambiti coinvolti in questo ciclo;
• utilizza strumenti, convenzionali e non, per affrontare una situazione, in particolare strumenti per il disegno tecnico (riga, compasso, squadra) e strumenti di misura (metro, litro, goniometro ecc.);
• progetta e realizza rappresentazioni e modelli di vario tipo, matematizzando e modellizzando situazioni reali impregnate di senso;
• riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di uno stesso oggetto matematico;
• comunica e argomenta procedimenti e soluzioni relative a una situazione, utilizzando diversi registri di rappresentazione semiotica; comprende, valuta e prende in considerazione la bontà di argomentazioni legate a scelte o processi risolutivi diversi dai propri;
• manifesta un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, tramite esperienze significative che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato a utilizzare siano utili per operare nella realtà.

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[tab title="Pagina%202"]Traguardi di competenza al termine del 3°ciclo

Alla fine del 3°ciclo l’allievo:

• applica il pensiero matematico per comprendere e risolvere con fiducia e determinazione situazioni-problema sia reali sia astratte concernenti tutti gli ambiti previsti per questo ciclo, mantenendo il controllo critico sia sui processi risolutivi sia sui risultati, esplorando e provando diverse strade risolutive e valutando in modo critico le informazioni e la loro coerenza;
• confronta procedimenti diversi e produce matematizzazioni e modellizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico vissuto e interpretato a una classe di problemi;
• manifesta disponibilità e capacità a usare modelli matematici di pensiero, di presentazione delle proprie scelte, strategie e processi risolutivi e di interpretazione di oggetti e situazioni reali;
• conosce, ordina e utilizza con sicurezza i numeri reali in contesti concreti e astratti e calcola con essi anche in forma non approssimata;
• gestisce con sicurezza il calcolo mentale e mentale-scritto nell’insieme dei numeri reali, ne padroneggia le diverse proprietà e rappresentazioni; stima il risultato di un calcolo e valuta l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice in situazioni che la richiedono;
• riconosce, denomina, descrive, classifica e rappresenta figure (del piano e dello spazio), ne individua proprietà, ne coglie relazioni tra gli elementi e ne determina misure significative;
• gestisce confronti, misure, ordinamenti e trasformazioni delle principali grandezze, effettua e calcola misure dirette e indirette legate alla realtà e a situazioni ideali e conosce le più comuni unità di misura legate al Sistema Internazionale delle Unità e alla Legge federale sulla metrologia;
• analizza e interpreta insiemi e rappresentazioni di dati per ricavarne misure di variabilità e prendere decisioni legate al contesto;
• riconosce, descrive, individua e rappresenta relazioni di tipo funzionale in situazioni reali e le utilizza per descrivere e risolvere una situazione-problema;
• si orienta ed esprime valutazioni qualitative e quantitative probabilistiche in situazioni di incertezza legate principalmente al mondo reale;
• costruisce ragionamenti, fondandosi su ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri; esprime e testa congetture dedotte da situazioni reali o astratte;
• legge e comprende testi in modo autonomo che coinvolgono aspetti logici e matematici concernenti gli ambiti coinvolti in questo ciclo;
• utilizza strumenti, convenzionali e non, per affrontare una situazione, in particolare strumenti per il disegno tecnico (riga, compasso, squadra), strumenti di misura (metro, litro, goniometro ecc.), strumenti di calcolo (calcolatrice e software matematici) e sa valutare l’opportunità di ricorrere a essi in situazioni che le richiedono;
• progetta e realizza rappresentazioni e modelli di vario tipo, matematizzando e modellizzando situazioni reali e ideali impregnate di senso;
• riconosce e utilizza con consapevolezza rappresentazioni diverse di uno stesso oggetto matematico;
• utilizza e interpreta il linguaggio matematico e ne coglie il rapporto con il linguaggio naturale;
• descrive e spiega il procedimento seguito, utilizzando diversi registri di rappresentazione semiotica, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati; produce giustificazioni e argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite;
• sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo la logica e la correttezza di un’argomentazione altrui;
• manifesta, con sempre maggiore convinzione, un atteggiamento positivo rispetto alla matematica per mezzo di esperienze significative e comprende come molti dei saperi matematici appresi siano utili per operare nella realtà.

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[tab title="Pagina%203"]Traguardi di apprendimento
Di seguito sono proposte le matrici che descrivono i risultati attesi per quanto riguarda le risorse e i processi, al termine dei tre cicli, (4°, 7° e 11° anno), suddivise per ambito di competenza.

Tabella 34[/tab] 

[tab title="Pagina%204"]Commento
Nel 1°ciclo è previsto il raggiungimento di competenze legate prevalentemente all’enumerare, effettuare conteggi, riconoscere e utilizzare i numeri nel quotidiano, classificare, ordinare, addizionare e sottrarre quantità. Per raggiungere tale scopo occorre tener presente che il bambino, nel suo contesto di vita, è confrontato in modo ricorrente con innumerevoli esperienze in cui i numeri sono presenti in modo massiccio. Di conseguenza è importante permettergli di confrontarsi con situazioni aperte che nascono da esperienze di vita quotidiana e che considerano anche numeri naturali «grandi», dove il grande dipende dal contesto della classe e del singolo allievo. Lo scopo è di non costringerlo a rimanere bloccato entro un certo intervallo numerico, con considerazioni a volte sottostimate in rapporto alle competenze già acquisite.
Tale scelta di fondo implica dei percorsi didattici che mettano il bambino nella condizione di vivere e confrontarsi fino in fondo con la scoperta del variegato universo matematico alternando momenti di scoperta, di apertura ad ambiti molto liberi, con momenti di strutturazione e di consolidamento di quanto emerso.

Nel 2°ciclo si mira a un ampliamento delle competenze del 1°ciclo sui numeri naturali, prendendo maggior confidenza con numeri sempre più grandi e con i primi numeri non naturali, scoprendoli e analizzandoli in vari contesti d’uso nella vita quotidiana. Lo scopo è di sviluppare una competenza nell’affrontare e risolvere situazioni-problema riconducibili alle quattro operazioni, fondata sul possesso di un bagaglio tecnico-algoritmico utile nella vita quotidiana che permetta di trovare delle soluzioni ai problemi, di presentare e giustificare i procedimenti messi in atto, di giudicarne l’attendibilità, procedendo anche per tentativi nel caso di situazioni poco familiari. La calcolatrice o altri mezzi informatici possono costituire utili strumenti da usare per eseguire calcoli di una certa complessità o in situazioni in cui è utile lavorare sui risultati in modo sperimentale o in cui è importante puntare sul processo risolutivo di una situazione-problema e non sui singoli calcoli.
Le frazioni vengono viste secondo diverse interpretazioni che nascono da situazioni reali, principalmente come operatore diretto, ma anche come quoziente e come rapporto fra due numeri naturali in situazioni significative (ad esempio fra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili).

Per questo ciclo, nell’ambito «Numeri e calcolo» si rintracciano i primi elementi degli ambiti di competenza «Funzioni» e «Probabilità e statistica» che ancora non sono presenti in modo esplicito. Per quanto concerne l’ambito «Funzioni» si prendono in considerazione le numerose situazioni in cui sono in gioco relazioni fra numeri o grandezze, espresse mediante registri diversi (in particolare grafici, tabelle, schemi, frasi ecc.) e in cui è richiesto di riflettere sul «legame» esistente per ricavare o completare le informazioni. L’ambito «Probabilità e statistica» può essere affrontato mettendo in gioco situazioni comuni di piccole inchieste o di gioco in cui l’allievo è chiamato a confrontarsi con semplici ma significative situazioni sia di raccolta/esplorazione di dati, sia di incertezza. Si mira alla costruzione delle prime risorse necessarie per organizzare e rappresentare insiemi di dati, individuarne qualche caratteristica e trarre stimoli utili per giungere a formulare alcune congetture.

Nel 3°ciclo è prevista un’estensione progressiva della conoscenza dei vari insiemi numerici, con un ampliamento sempre più marcato della accezione di frazione a tutti i suoi aspetti, un affinamento del calcolo aritmetico, un approccio al calcolo algebrico, l’introduzione e un primo consolidamento dei concetti di equazione, disequazione e sistema.
Il calcolo mentale assume importanza sia come campo di sviluppo di determinati algoritmi (fondati essenzialmente sulle proprietà, sulla gerarchia delle operazioni e sull’uso delle parentesi) che preparano la via al calcolo algebrico, sia come mezzo per stimare risultati ottenuti da uno strumento tecnologico. Questo tipo di calcolo aritmetico concerne anzitutto i numeri naturali ma anche i razionali espressi in forma decimale e frazionaria e va ancorato su solide competenze acquisite nel ciclo precedente.

La calcolatrice è assunta come strumento personale dell’allievo. L’obiettivo principale è quello di educare a un suo uso corretto, sensato e autonomo, mediante attività di sensibilizzazione che ne mostrino le peculiarità. Assieme a un foglio di calcolo, essa diventa strumento per sviluppare e affinare competenza nel calcolo stesso oltre che per introdurre nuovi concetti matematici.
Il calcolo algebrico viene proposto come generalizzazione del calcolo aritmetico. Grazie a esso si intendono sviluppare negli allievi le competenze necessarie per gestire situazioni-problema risolvibili tramite espressioni aritmetiche, equazioni, disequazioni e sistemi con numeri reali secondo varie modalità e sfruttando le proprietà del calcolo, riuscendo così a matematizzare e a modellizzare la realtà.

Tabella 35[/tab] 

[tab title="Pagina%205"]Commento
Nel 1°ciclo lo sviluppo geometrico prende avvio a partire dalle prime esperienze spaziali del bambino tramite l’organizzazione delle percezioni, sensazioni e osservazioni esterne di tipo senso-motorio e l’uso di un linguaggio sempre più adeguato. Per i bambini di questa età, la geometria tridimensionale (3D) rappresenta una lettura della realtà più intuitiva e più vicina alle loro esperienze, dato che tutto ciò che circonda il bambino è 3D.
È quindi auspicabile iniziare lo studio di tale ambito partendo dall’osservazione e analisi di figure 3D, rintracciabili in modelli del reale, per poi giungere a quelle 2D e in seguito operare continui passaggi dal 3D al 2D e viceversa.
Partire dall’esperienza reale fornisce informazioni spaziali legate alla forma, alla grandezza, alla posizione ecc. degli oggetti; caratteristiche che si rivelano importanti per un primo approccio all’apprendimento in campo geometrico, ma che vanno didatticamente controllate per far emergere gradatamente nei cicli successivi aspetti sempre più concettuali.

Nel 2° e 3°ciclo, il processo di insegnamento/apprendimento della geometria verte sul passaggio dallo spazio al piano e viceversa, partendo dalla lettura del mondo reale che circonda l’allievo e creando continuità fra i cicli.
Non si tratta di riprodurre l’impostazione euclidea, iniziando da concetti come il punto, la linea, la retta e il piano, importanti per una trattazione razionale, ma distanti dall’esperienza dell’allievo, bensì di creare situazioni ricche e significative che permettano agli allievi di interpretare matematicamente il mondo reale che li circonda, tramite modellizzazioni che consentano il passaggio: realtà-modello-realtà. È così che nel 2° ciclo avviene il passaggio dall’organizzazione spaziale della realtà a sistemazioni e razionalizzazioni successive di queste prime osservazioni che continua in modo sempre più critico e profondo nel ciclo successivo e che confluisce negli aspetti assiomatico-deduttivi. Quest’ultimi sono perseguiti attraverso la risoluzione di significative situazioni-problema che portano l’allievo a rendersi conto che dalla validità di talune proprietà di partenza se ne possono dedurre di nuove. Come proprietà di partenza non sono necessariamente presi in considerazione dei veri e propri assiomi geometrici, bensì delle «proprietà forti», assunte dall’allievo come evidenti sulla scorta di attività euristiche mirate.
In un’evoluzione di questo tipo, acquista un ruolo fondamentale il linguaggio geometrico, che fornisce esso stesso degli orientamenti per organizzare l’osservazione, per interpretare gli oggetti considerati e per sostenere il processo cognitivo legato alla comunicazione e all’argomentazione.
I simboli, le formule e le definizioni vanno considerate come punto di arrivo di un percorso di apprendimento costruttivo e personale dell’allievo e non come punto di partenza. La rappresentazione di figure assume un ruolo di primaria importanza per operare una sintesi delle proprietà dell’oggetto considerato. In particolare, l’uso di modelli concreti (bi- e tri-dimensionali, variando tecniche e materiali), la rappresentazione mediante schizzi a mano libera e i disegni ottenuti attraverso costruzioni ragionate fondate su proprietà, utilizzando strumenti più o meno tradizionali (riga, squadra, compasso, …) o software di geometria dinamica.
L’intento è di far sì che l’allievo sappia gestire situazioni-problema concernenti figure geometriche, fondando il suo lavoro sulla capacità di analisi e sintesi, utilizzando diverse rappresentazioni semiotiche per esplicitare il processo risolutivo scelto e fornendo risposte e argomentazioni sia qualitative che quantitative alla situazione data.

Tabella 36[/tab] 

[tab title="Pagina%206"]Commento
Nel 1°ciclo la descrizione di proprietà o grandezze riferite a oggetti e fenomeni reali viene effettuata inizialmente in modo percettivo e sensoriale e può essere realizzata tramite l’uso del linguaggio parlato: momento del «confronto qualitativo» (più alto/più basso, più lungo/più corto ecc.) o tramite una misurazione, che diventa un «confronto quantitativo». Il passaggio dalla prima modalità alla seconda avviene quando si presenta la necessità di descrivere con una certa precisione «l’intensità» di un fenomeno o una caratteristica di un oggetto.
Per rendere assolute le considerazioni fatte nel primo tipo di descrizione occorre confrontare l’oggetto considerato con uno o più campioni; tale confronto può avvenire in modo diretto, paragonando gli oggetti tra loro o, se ciò non è possibile, nasce la necessità di usare un oggetto di confronto.
Se l’uso di vari oggetti risulta complicato, si passa dal confronto alla misurazione. Si stabilisce una prima corrispondenza fra oggetti e numeri usando un’unità di misura arbitraria per passare poi ad altre convenzionali del sistema di unità di misura internazionale. È inoltre importante allenare l’occhio alla stima quantitativa, basata sul vissuto personale degli allievi formatosi da precedenti esperienze di misurazioni.Nel 2°ciclo il rapporto tra l’ambito «Grandezze e misure» e il mondo fisico rimane molto stretto. La descrizione di proprietà o grandezze riferite a oggetti e fenomeni reali viene effettuata in modo percettivo e sensoriale prima di passare a situazioni ideali, per mezzo di confronti sia qualitativi sia quantitativi, che portano al concetto di misura di una grandezza.Nel 3°ciclo, come per gli altri ambiti, vengono approfondite queste competenze in modo sempre più critico e profondo.
In entrambi i cicli si persegue un discorso di chiarezza sulla differenza esistente fra un oggetto (fisico o geometrico) e il concetto matematico di grandezza corrispondente, distinguendoli a loro volta dal concetto matematico di misura di una grandezza. Un segmento, un contorno, un angolo, una superficie, una parte di spazio, un sacco di mele, ecc. sono altra cosa rispetto alle grandezze corrispondenti: lunghezza, perimetro, ampiezza, area, volume, massa e valore ecc.. In quest’ottica è opportuno tener presente quei casi in cui la lingua comune è fonte di ambiguità, quando si tratta ad esempio di distinguere un ente geometrico dalla grandezza corrispondente oppure una grandezza dalla sua misura rispetto a una determinata unità di misura. In questi casi occorre sviluppare la sensibilità necessaria a distinguere se si sta considerando l’una o l’altra cosa. L’attività di misurazione delle grandezze previste, fondata su situazioni significative proposte in vari contesti, è molto importante, soprattutto per matematizzare e modellizzare la realtà.L’esecuzione di misurazioni dirette o indirette portano l’allievo a stabilire corrispondenze fra oggetti del mondo reale e numeri mediate da unità di misura, consentendo di effettuare confronti tra oggetti e permettendo di scoprire che una stessa grandezza può avere più misure, diverse a seconda dell’unità scelta. Ciò permette all’allievo di acquisire anche quel vissuto di esperienze indispensabili a cui riferirsi nel momento in cui sarà chiamato a fare una stima dell’ordine di grandezza della proprietà di un elemento o di un fenomeno del reale. Per quanto concerne in particolare il perimetro e l’area di poligoni o l’area e il volume di solidi scomponibili in parallelepipedi rettangoli, l’aspetto del calcolo è fondato sulla costruzione di formule giustificate attraverso attività, possibilmente di laboratorio, che mettono in evidenza proprietà delle figure, evitando il processo di pura memorizzazione e mobilitazione di formule preconfezionate per ogni caso particolare. In tale contesto è opportuno anche dare rilievo ai problemi di conservazione di queste grandezze.Per quanto concerne il calcolo con grandezze, ci si limita al calcolo con le loro misure, educando l’allievo a riflettere su quale unità di misura dovrà accompagnare il risultato per essere coerente con la grandezza considerata. La conversione da un’unità di misura a un’altra si fonda sulla conoscenza delle relazioni fondamentali fra unità di misura diverse dettate dal sistema decimale; in particolare, è opportuno introdurre i relativi prefissi mettendo in relazione i multipli e i sottomultipli della grandezza considerata con le potenze 10, 10 , 10 , ecc. e con le frazioni 1/10, 1/100, 1/1000, ecc., applicate come operatori.

Tabella 37[/tab]